对角化

特征子空间

矩阵的属于 $\lambda_0$ 的全部特征向量，再添上零向量，构成一个线性空间，称为矩阵的一个特征子空间，记为 $E(\lambda_0)$ 。它是齐次线性方程组：

(\lambda_0 I-A)X=0

的解空间。

对于特征子空间 $E(\lambda_i)=N(\lambda_i I-A)$ ，由亏加秩定理有：

r(\lambda_i I-A)+\operatorname{dim} N(\lambda_i I-A)=n

因此，特征子空间 $E(\lambda_i)$ 的维数为：

\operatorname{dim} E(\lambda_i)=n-r(\lambda_i I-A)

也称为 $\lambda_i$ 的 几何重数。

不变子空间

在研究线性变换的时候，常常希望选取空间的一个基，使得线性变换对于这个基的矩阵具有尽可能简单的形状。

设是数域上的线性空间，是的一个子空间，是上的一个线性变换。如果对于中任意的向量，都有也在中（也称为空间在变换下不变或稳定），称是的一个不变子空间。

空间在变换下不变，并不是说坐标在变换下真的「不变」，有可能是进行了一个拉伸等变形，只是变形后还落在空间里。

线性空间的任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间。
对于中任意的线性变换，空间和零子空间都是的不变子空间，称为平凡不变子空间。
不变子空间的交与和也是不变子空间。

设是线性变换的一个不变子空间。只考虑在不变子空间上的作用，就得到子空间本身的线性变换，称为在子空间上的限制，记作 ${T|}_W$ 。

对于中任意的线性变换，像空间与核空间是的不变子空间。这两种情况的含义是，空间在变换前后，完成了自身的压缩（像空间），或者压缩到（核空间）。

对于中任意的线性变换，的特征子空间是的不变子空间。

准素分解

根据代数基本定理，最小多项式可以分解为：

m_A(\lambda)={(\lambda-\lambda_1)}^{r_1}\cdots{(\lambda-\lambda_S)}^{r_S}

考虑最小多项式代入变元 $\lambda$ 为矩阵后，各个因式的核空间，构成矩阵的一系列不变子空间：

W_i=N({(\lambda_i I-A)}^{r_i})

定理：该不变子空间的维数，恰好为特征值 $\lambda_i$ 的代数重数。

回顾一下，代数重数是指特征多项式各个因式的次数，几何重数是指特征子空间 $E(\lambda_i)=N(\lambda_i I-A)$ 的维数。这个不变子空间与特征子空间 $E(\lambda_i)$ ，两者都是矩阵的核空间，并且两个矩阵构成最小多项式次幂的关系。也就是说，特征子空间的维数是几何重数，「特征子空间」经过最小多项式次幂后到达一个「不变子空间」，不变子空间的维数到达了特征多项式的代数重数。

该定理其实是下面准素分解定理的推论。

记矩阵对应的线性变换，在每个子空间上的限制 $T_i={T|}_{W_i}$ 。于是的最小多项式是 $(x-\lambda_i)^{r_i}$ 。

定理：设是域上的线性空间，是上的一个线性变换。那么空间可以关于线性变换进行准素分解，拆成若干不变子空间的直和。

V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S

这意味着，在某组基下的矩阵是准对角阵：

\operatorname{diag}\{A_1,A_2,\cdots,A_S\}

其中，是在对应基下的矩阵。

该定理表明，可以使用不变子空间简化线性变换的矩阵。

可对角化矩阵

对于阶方阵，如果相似于一个对角阵，则称为可对角化矩阵，或称单纯矩阵。

对角阵的和、积、逆，如果存在，仍然是对角阵，其对角线上的元素就是它的特征值。
线性变换的矩阵为可对角化矩阵，等价于在某组基下的矩阵为对角阵。

定理：设矩阵的全部互异特征根为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ ，则以下命题等价：

矩阵可对角化。
矩阵有个线性无关的特征向量。
以下公式成立：

\operatorname{dim} E(\lambda_1)+\cdots+\operatorname{dim} E(\lambda_m)=n

前文已经指出，特征多项式的分解式中特征值的次数称为代数重数，特征子空间的维数称为几何重数。这个定理也表明，矩阵可对角化，等价于的每个特征值 $\lambda$ 的代数重数都等于它的几何重数。

推论：如果阶方阵恰有个互异特征值，则它必可对角化。反之则不一定。

定理：矩阵可对角化当且仅当的最小多项式没有重根。

矩阵的相似也会保持特征向量之间的线性相关关系不变。

特征向量完全可能不是实数，也完全可能找不到个线性无关的特征向量。

对于重特征值而言，特征向量张成空间。为了描述这个空间，需要从其中选择代表。一般会选择线性无关的代表，代表的个数就是空间的维数。

选取代表时，常常将它们正交化与单位化。最终得到的就是一套单位正交的代表。

特征向量不一定正交，不同特征值的特征向量，可能无法正交。因此正交化只能对于重特征值的特征向量进行。但是单位化可以对任意特征向量进行。

幂零矩阵

设是空间的一个线性变换。如果存在一个正整数，使得为零变换，称是空间的一个幂零变换。

对于某一个正整数，满足条件的矩阵称为幂零矩阵。

一般可以进一步假定是使为零变换的最小正整数，于是的最小多项式是。于是存在一个向量 $\xi_0$ ，使得：

$T^r(\xi_0)=0$
$T^{r-1}(\xi_0)\neq 0$

循环子空间

定理：设是空间的一个线性变换， $\xi$ 是空间的一个向量。如果存在一个正整数，使得：

$T^s(\xi)=0$
$T^{s-1}(\xi)\neq 0$

那么向量 $\xi,T(\xi),\cdots,T^{s-1}(\xi)$ 线性无关。

由这个定理可以给出一个定义：

设是空间的一个线性变换，是的一个子空间。如果存在一个向量 $\xi_0$ 和一个正整数，使得：

向量 $\xi_0,T(\xi_0),\cdots,T^{r-1}(\xi_0)$ 构成的一个基。
如下等式成立：
$T^r(\xi_0)=0$

那么子空间称为关于的一个循环子空间，简称循环子空间。此时 $\xi_0$ 称为循环子空间的一个生成向量，向量 $\xi_0,T(\xi_0),\cdots,T^{r-1}(\xi_0)$ 称为的一个循环基。

显然，一个循环子空间在作用下不变，并且对于循环子空间中的任意向量 $\xi$ ，均有 $T^r(\xi)=0$ ，这里为循环子空间的维数。

幂零 Jordan 块

如果空间是变换的循环子空间，那么在上的限制 ${T|}_W$ 是的一个幂零变换，并且 ${T|}_W$ 关于的倒序排列的循环基 $T^{r-1}(\xi_0),T^{r-2}(\xi_0),\cdots,\xi_0$ 的矩阵是如下形状的阶上三角矩阵：

N_r=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \end{pmatrix}

矩阵称为一个阶幂零 Jordan 矩阵，或者阶幂零 Jordan 块。

设是维空间的一个幂零变换，把出现在关于的循环子空间的分解中，唯一确定的一组正整数 $r_1\geq\cdots\geq r_S$ 叫做的不变指数。

对于阶幂零矩阵，与一个上述形状的矩阵相似，也唯一确定一个正整数序列 $r_1\geq\cdots\geq r_S$ ，称为矩阵的不变指数。

幂零阵虽然不能和对角阵相似，但是可以相似于这样的标准形式。在 Jordan 标准型，将相似对角化与幂零阵的标准形式，二者结合起来，给出一般的矩阵通过相似变换可以达到的标准形式。

一些定理

设是空间的一个幂零变换，而
$h(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m$
是一个多项式，那么当且仅当 $a_0\neq 0$ 时，线性变换有逆变换。当可逆时，的逆变换也是的一个多项式。
设是空间的一个幂零变换，是一个维循环子空间， $\xi$ 是中的向量。如果存在一个整数，使得
$T^{r-k}(\xi)=0$
那么存在中的向量 $\eta$ ，使得
$\xi=T^k(\eta)$
设是维空间的一个幂零变换，是的最小多项式，令是一个维循环子空间，那么存在的一个余子空间，使得：
$V=W_1\oplus W_2$
并且也在作用下不变。
设是维空间的一个幂零变换，那么可以分解为循环子空间的直和：
$V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S$
每一个阶幂零矩阵都与一个形如：
$N=\begin{pmatrix} N_{r_1} & & & 0\\ & N_{r_2} & & \\ & & \cdots & \\ 0 & & & N_{r_S}\\ \end{pmatrix}$
的矩阵相似，这里的每一个 $N_{r_i}$ 是一个阶幂零 Jordan 块。
如果规定循环子空间按照维数降序排列 $r_1\geq\cdots\geq r_S$ ，那么将分解为循环子空间的方法是由唯一确定的。

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