三维计算几何基础

三维几何的很多概念与二维几何是相通的，我们可以用与解决二维几何问题相同的方法来解决三维几何问题。

基本概念

点，向量，直线这些概念和二维几何是相似的，这里不再展开。

平面

我们可以用平面上的一点和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量） $\boldsymbol{n}$ 来表示一个平面。

因为 $\boldsymbol{n}$ 垂直于平面，所以 $\boldsymbol{n}$ 垂直于该平面内的所有直线。换句话说，设 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)$ ，则该平面上的点都满足 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PP_0} = 0$ 。

根据向量点积的定义，上式等价于：

整理后得到：

令，则上式变成。我们称这个式子为平面的 一般式。

基本操作

直线、平面之间的夹角

运用空间向量的知识，空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出。

对于两条异面直线，，过空间中一点，作 $a' \parallel a$ ， $b' \parallel b'$ ，则与所成的锐角或直角被称为和两条 异面直线所成的角。

对于直线和平面 $\alpha$ ，若与 $\alpha$ 相交于，过上一点引平面 $\alpha$ 的垂线交 $\alpha$ 于，则与所成的角被称为 直线与平面所成的角。特别地，若 $a \parallel \alpha$ 或 $a \subset \alpha$ ，则它们之间的夹角为 $0^\circ$ 。

对于两个平面 $\alpha$ ， $\beta$ ，它们的夹角被定义为与两条平面的交线垂直的两条直线（其中 $a \subset \alpha$ ， $b \subset \beta$ ）所成的角。

两直线夹角定义与关系充要条件

两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角。

有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线，它们的方向向量分别是，，设 $\varphi$ 为两直线夹角，我们可以得到 $\cos \varphi = \dfrac{\left | m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 \right |}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$ .

$l_1 \perp l_2 \iff m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 = 0$
$l_1 \parallel l_2 \iff \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{p_1}{p_2}$ .

三维向量与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 $\varphi$ （ $\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}]$ ）称为直线与平面的夹角。

设直线向量，平面法线向量，那么以下命题成立：

角度的正弦值： $\sin\varphi = \dfrac{\left | am + bn + cp \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$
直线与平面平行 $\iff am+bn+cp = 0$
直线与平面垂直 $\iff \dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}$

点到平面的距离

直线与平面的交点

直接联立直线方程和平面方程即可。

立体几何定理

三正弦定理

设二面角 $－－$ 的度数为 $\alpha$ ，在平面上有一条射线，它和棱所成角为 $\beta$ ，和平面所成的角为 $\gamma$ ，则 $\sin\gamma = \sin\alpha\cdot\sin\beta$ 。

三余弦定理

设为平面上一点，过平面外一点的直线在面上的射影为，为面上的一条直线，那么 $\angle COB，\angle AOC，\angle AOB$ 三角的余弦关系为： $\cos\angle BOC=\cos\angle AOB\cdot\cos\angle AOC$ （ $\angle AOC$ ， $\angle AOB$ 只能是锐角）。

参考资料

3D 空间基础概念之一：点、向量（矢量）和齐次坐标

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